आकारों के सूत्र
छह सूत्र लगभग हर उस जगह को ढक लेते हैं जो आप किसी इमारत या प्लॉट पर नापेंगे। इससे पेचीदा जो कुछ है, वह इन्हीं छह का जोड़ है।
आयत और वर्ग का सूत्र एक ही है। लंबाई × चौड़ाई, और वर्ग में वह बस भुजा का वर्ग है। 12 गुणा 14 फुट का कमरा 168 वर्ग फुट है; 15 फुट के वर्गाकार कमरे का क्षेत्रफल 225 है।
त्रिभुज उस आयत का आधा है जो उसे घेरे: आधार × ऊँचाई ÷ 2। 18 फुट आधार और 12 फुट ऊँचाई पर 108 वर्ग फुट। ऊँचाई का मतलब आधार से सामने के बिंदु तक की लंबवत दूरी है, तिरछी भुजा की लंबाई नहीं — ग़लती से ढलान नाप लेने पर आँकड़ा हमेशा बढ़ा हुआ आता है।
जहाँ लंबवत ऊँचाई मिल ही न सके — जैसे प्लॉट का तिकोना कोना — वहाँ हेरोन का सूत्र लगाएँ। आधी परिधि s है, और क्षेत्रफल s(s−a)(s−b)(s−c) का वर्गमूल। 13-14-15 फुट के त्रिभुज में s = 21 होता है, जो तीन टेप नापों से और बिना किसी समकोण के ठीक 84 वर्ग फुट देता है।
वृत्त पाई × त्रिज्या² है। 9 फुट त्रिज्या वाला वृत्त 254.47 वर्ग फुट का है। बीच से नहीं, आर-पार नापा हो तो पहले व्यास आधा कर लें।
छल्ला या वृत्तवलय बाहरी वृत्त में से भीतरी घटाकर बनता है: पाई × (R² − r²)। 12 फुट बाहरी और 8 फुट भीतरी त्रिज्या पर 251.33 वर्ग फुट — जैसे गोल पूल के चारों ओर का डेक।
समलंब — चार भुजाओं की वह आकृति जिसमें दो भुजाएँ समांतर हों, और ज़्यादातर बेढब प्लॉट यही निकलते हैं — में समांतर भुजाओं का औसत गुणा उनके बीच की दूरी। 14 और 20 फुट की भुजाएँ, 10 फुट की दूरी पर, 170 वर्ग फुट देती हैं।
| आकार | सूत्र | उदाहरण के आँकड़े | क्षेत्रफल |
|---|---|---|---|
| आयत | लंबाई × चौड़ाई | 12 × 14 फुट | 168 वर्ग फुट |
| वर्ग | भुजा² | 15 फुट | 225 वर्ग फुट |
| त्रिभुज | आधार × ऊँचाई ÷ 2 | 18 फुट आधार, 12 फुट ऊँचाई | 108 वर्ग फुट |
| त्रिभुज (3 भुजाएँ) | √(s(s−a)(s−b)(s−c)) | 13, 14, 15 फुट | 84 वर्ग फुट |
| वृत्त | π × त्रिज्या² | 9 फुट त्रिज्या | 254.47 वर्ग फुट |
| छल्ला (वृत्तवलय) | π × (R² − r²) | 12 फुट बाहरी, 8 फुट भीतरी | 251.33 वर्ग फुट |
| समलंब | (a + b) ÷ 2 × ऊँचाई | 14 और 20 फुट, 10 फुट दूरी पर | 170 वर्ग फुट |
| दीर्घवृत्त | π × a × b | 15 और 10 फुट अर्ध-अक्ष | 471.24 वर्ग फुट |
वे आकार जो एक आकार नहीं हैं
असल के ज़्यादातर कमरे और प्लॉट ऊपर की सूची में नहीं आते, और जवाब हमेशा एक ही है: उन्हें बाँट दीजिए।
L-आकार का कमरा दो आयत है, या एक बड़ा आयत जिसका एक कोना निकला हुआ है। दोनों तरीक़े एक ही जवाब देते हैं, और घटाने वाले तरीक़े में आम तौर पर कम नाप लगती हैं। 20 गुणा 30 फुट के घेरे वाला कमरा जिसमें 10 गुणा 12 फुट का कोना ग़ायब है, 600 − 120 = 480 वर्ग फुट का है।
किनारा या बॉर्डर — आँगन की पट्टी, स्लैब के चारों ओर का रास्ता — बाहरी आयत में से भीतरी घटाकर निकलता है। बाहरी नाप में से बॉर्डर की दोगुनी चौड़ाई घटाने पर भीतरी नाप मिलती है। 2 फुट बॉर्डर वाला 20 गुणा 10 फुट का आँगन 200 − (16 × 6) = 104 वर्ग फुट बॉर्डर देता है।
बे खिड़की वाला कमरा एक आयत और एक समलंब है। गोल सिरे वाला कमरा एक आयत और एक अर्धवृत्त। दोनों में उस जोड़ की रेखा नापिए जहाँ दोनों आकार मिलते हैं, क्योंकि वह नाप दोनों टुकड़ों की है और ग़लत होने पर दोनों बिगड़ जाते हैं।
कोनों पर बाँटिए, सुविधाजनक दिखने वाले बिंदुओं पर नहीं। जहाँ भी दीवार दिशा बदलती है, वही स्वाभाविक बँटवारे की रेखा है, और वहीं बाँटने से हर टुकड़ा दो नापों वाला सादा आयत रह जाता है।
घटाइए, अंदाज़ा मत लगाइए। किसी आकार का कोई हिस्सा ग़ायब हो तो उस ग़ायब हिस्से को नापकर घटाएँ। बचे हुए का आँख से अंदाज़ा लगाना ही बेढब क्षेत्रफल की ज़्यादातर ग़लतियों की जड़ है।
रूपांतरण के सूत्र
वर्ग इकाइयाँ रैखिक इकाइयों की दर से नहीं बदलतीं, और लोग यहीं लगातार चूकते हैं। एक फुट 12 इंच का होता है, पर एक वर्ग फुट 144 वर्ग इंच का, क्योंकि दोनों नापें बदलती हैं।
वर्ग इंच से वर्ग फुट: 144 से भाग दें। 1,440 वर्ग इंच 10 वर्ग फुट हैं।
वर्ग फुट से वर्ग गज: 9 से भाग दें। 180 वर्ग फुट का कमरा 20 वर्ग गज है — यही वह इकाई है जिसमें कारपेट और सॉड बिकते हैं।
वर्ग फुट से वर्ग मीटर: 0.09290304 से गुणा करें। यह गुणक ठीक-ठीक सही है, क्योंकि एक फुट परिभाषा से ठीक 0.3048 मीटर होता है। 1,000 वर्ग फुट का फ़्लैट 92.9 वर्ग मीटर का है।
वर्ग मीटर से वर्ग फुट: 10.7639 से गुणा करें, जो छह अंकों तक गोल किया हुआ आँकड़ा है। 100 वर्ग मीटर का फ़्लैट 1,076.39 वर्ग फुट का है।
वर्ग फुट से एकड़: 43,560 से भाग दें। आधा एकड़ 21,780 वर्ग फुट है।
| किससे | किसमें | क्या करें | उदाहरण |
|---|---|---|---|
| वर्ग इंच | वर्ग फुट | ÷ 144 | 1,440 in² = 10 वर्ग फुट |
| वर्ग फुट | वर्ग इंच | × 144 | 10 वर्ग फुट = 1,440 in² |
| वर्ग फुट | वर्ग गज | ÷ 9 | 180 वर्ग फुट = 20 वर्ग गज |
| वर्ग फुट | वर्ग मीटर | × 0.09290304 | 1,000 वर्ग फुट = 92.9 m² |
| वर्ग मीटर | वर्ग फुट | × 10.7639 | 100 m² = 1,076.39 वर्ग फुट |
| वर्ग फुट | एकड़ | ÷ 43,560 | 21,780 वर्ग फुट = 0.5 एकड़ |
| एकड़ | वर्ग फुट | × 43,560 | 1 एकड़ = 43,560 वर्ग फुट |
वर्ग फुट को सामग्री में बदलना
क्षेत्रफल कम ही वह जवाब होता है जो आपको असल में चाहिए। ये वे सूत्र हैं जो उसे ख़रीदने लायक़ मात्रा में बदलते हैं, और इनमें से हर एक का इनपुट क्षेत्रफल ही है।
पेंट: गैलन = क्षेत्रफल × कोट ÷ 350। 418 वर्ग फुट के कमरे को दो कोट में 2.39 गैलन चाहिए, यानी तीन। प्राइमर कम ढकता है, लगभग 200 से 300 वर्ग फुट प्रति गैलन।
ड्राईवॉल: शीट = क्षेत्रफल ÷ 32 (4 गुणा 8 फुट की शीट पर), या ÷ 48 (4 गुणा 12 पर)। 468 वर्ग फुट दीवार 14.63 शीट बनती है, यानी 15 — और एक अतिरिक्त ख़रीद लें।
छत: स्क्वेयर = छत का क्षेत्रफल ÷ 100, और बंडल = स्क्वेयर × 3 मानक शिंगल पर। 1,789 वर्ग फुट की छत 17.89 स्क्वेयर है; वेस्टेज के बाद 20 पर पूर्णांक लेने पर 60 बंडल।
टाइल और फ़्लोरिंग: बॉक्स = क्षेत्रफल × (1 + वेस्टेज) ÷ प्रति बॉक्स कवरेज। 10 प्रतिशत वेस्टेज पर 100 वर्ग फुट 110 बनता है, और 16 वर्ग फुट प्रति बॉक्स पर यह 6.88 बॉक्स है, यानी सात।
ध्यान दीजिए कि इनमें से हर एक ऊपर की ओर पूर्णांक लेता है, और कई में पहले वेस्टेज जुड़ता है। सामग्री पूरी इकाइयों में बिकती है और कटे टुकड़े कम ही दोबारा काम आते हैं, इसलिए गणित का जवाब न्यूनतम सीमा है, ऑर्डर की मात्रा नहीं।
वह क्रम जो आपको मुसीबत से बचाता है
सूत्र सीधे हैं। ग़लतियाँ लगभग हमेशा क्रम में होती हैं, इसलिए काम इसी क्रम में कीजिए।
गोल किए फुट में नहीं, इंच में नापें। आख़िर में एक बार वर्ग इंच को 144 से भाग देकर बदलें। गुणा करने से पहले हर नाप को नज़दीकी फुट तक गोल करना कमरे की हर दीवार पर ग़लती जमा कर देता है।
पहले कुल क्षेत्रफल निकालें और उसे लिख लें। घटाव अलग क़दम के रूप में करें, ताकि सप्लायर का आँकड़ा अलग निकले तो पता चल सके कि असहमति जगह पर है या घटाव पर।
वेस्टेज घटाव के बाद लगाएँ, पहले नहीं। कुल क्षेत्रफल पर लगाया गया 10 प्रतिशत वेस्टेज चुपचाप उन खुले हिस्सों की भी सामग्री ख़रीद लेता है जिन्हें आप पहले ही हटा चुके हैं।
पूर्णांक बिलकुल आख़िर में, एक ही बार लें। हर क़दम पर गोल करना जमा होता जाता है: 0.4 शीट के तीन पूर्णांक मिलकर काउंटर तक पहुँचते-पहुँचते एक पूरी शीट से ज़्यादा की ग़लती बन जाते हैं।
फिर किसी जानी-पहचानी चीज़ से मिलाकर देखें। शयनकक्ष आम तौर पर 100 से 250 वर्ग फुट का होता है, भीतरी दीवार 80 से 160, और दो कार का गैराज लगभग 400 से 576। आपका जवाब अपेक्षित दायरे से बाहर हो तो ऑर्डर से पहले दोबारा नापें।
तीन भुजाएँ हमेशा त्रिभुज नहीं बनातीं
हेरोन का सूत्र तीन भुजाएँ लेकर क्षेत्रफल देता है, जिससे लगता है कि कोई भी तीन अंक त्रिभुज बना देंगे। ऐसा नहीं है, और यह बात सूत्र का अपना गणित ही बता देता है।
कसौटी है त्रिभुज असमिका: किन्हीं दो भुजाओं का जोड़ तीसरी से बड़ा होना चाहिए। 13, 14 और 15 की भुजाएँ आराम से पास होती हैं और ऊपर बताया 84 वर्ग फुट देती हैं। 2, 3 और 9 नहीं होतीं — 2 और 3 मिलकर 5 बनते हैं, जो 9 तक पहुँच ही नहीं सकते — और इन नापों वाला कोई आकार होता ही नहीं।
फिर भी इस नाकाम जोड़ को हेरोन में डालकर देखिए। अर्ध-परिधि (2 + 3 + 9) ÷ 2 = 7 है, इसलिए तीनों कोष्ठक 7 − 2 = 5, 7 − 3 = 4 और 7 − 9 = −2 बनते हैं। गुणनफल 7 × 5 × 4 × −2 = −280 है, और ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल होता ही नहीं। जो कैलकुलेटर कुछ न दे या ग़लती बताए, वह ख़राब नहीं है; वह बता रहा है कि नाप ग़लत है।
क़रीब-क़रीब नाकाम होने वाले जोड़ भी जानने लायक़ हैं, क्योंकि वे कसौटी पास कर जाते हैं और फिर भी ग़लती का इशारा हैं। 5, 5 और 9.99 की भुजाएँ तकनीकी रूप से त्रिभुज हैं, पर दोनों छोटी भुजाओं को लंबी के साथ लगभग सपाट लेटना पड़ता है, और क्षेत्रफल सिकुड़कर 1.12 वर्ग फुट रह जाता है। असल में ऐसी नाप वाले कमरे में सिकुड़े त्रिभुज से कहीं ज़्यादा संभावना यह है कि कोई अंक उलटकर लिख दिया गया हो।
इसलिए तीन भुजाओं वाली नाप से कोई जवाब न मिले तो सबसे पहले सबसे लंबी भुजा दोबारा नापिए। यही वह भुजा है जो सबसे ज़्यादा संभावना से विकर्ण के आर-पार नापी गई होगी, या जिसने कोई ऐसा आला पकड़ लिया होगा जो बाक़ी दोनों ने नहीं पकड़ा।