صيغ الأشكال
ستّ صيغ تغطي عمليًا كل فراغ ستقيسه في مبنى أو على قطعة أرض. وكل ما هو أعقد هو هذه الستّ مجموعة.
المستطيل والمربع صيغة واحدة. الطول × العرض، وفي المربع هو الضلع تربيعًا. فغرفة 12 في 14 ft هي 168 قدمًا مربعة؛ وغرفة مربعة ضلعها 15 ft هي 225.
والمثلث نصف المستطيل الذي يحويه: القاعدة × الارتفاع ÷ 2. فقاعدة 18 ft بارتفاع 12 ft هي 108 أقدام مربعة. والارتفاع يعني المسافة العمودية من القاعدة إلى النقطة المقابلة، لا طول الضلع المائل — وقياس المنحدر خطأً يضخّم النتيجة دائمًا.
وحين يتعذّر عليك الحصول على ارتفاع عمودي — كركن قطعة مثلث مثلًا — استعمل صيغة هيرون بدلًا منه. فنصف المحيط هو ن، والمساحة هي الجذر التربيعي لـن(ن−أ)(ن−ب)(ن−ج). فمثلث 13-14-15 ft فيه ن = 21، ويعطي 84 قدمًا مربعة بالضبط من ثلاث قراءات شريط وبلا زاوية قائمة.
والدائرة باي × نصف القطر². فدائرة نصف قطرها 9 ft هي 254.47 قدمًا مربعة. وإن قِست عبرها لا من المركز، فنصّف القطر أولًا.
والحلقة هي الدائرة الخارجية ناقص الداخلية: باي × (نق الخارجي² − نق الداخلي²). فنصف قطر خارجي 12 ft مع داخلي 8 ft يعطي 251.33 قدمًا مربعة — كالتراس حول حمام سباحة دائري مثلًا.
وشبه المنحرف — شكل رباعي بضلعين متوازيين، وهو ما تتبيّن أغلب القطع غير المنتظمة أنه — هو متوسط الضلعين المتوازيين في المسافة بينهما. فضلعان 14 و20 ft، تفصلهما 10 ft، يعطيان 170 قدمًا مربعة.
| الشكل | الصيغة | المدخلات | المساحة |
|---|---|---|---|
| مستطيل | الطول × العرض | 12 × 14 ft | 168 قدمًا مربعة |
| مربع | الضلع² | 15 ft | 225 قدمًا مربعة |
| مثلث | القاعدة × الارتفاع ÷ 2 | قاعدة 18 ft، ارتفاع 12 ft | 108 أقدام مربعة |
| مثلث (3 أضلاع) | √(ن(ن−أ)(ن−ب)(ن−ج)) | 13 و14 و15 ft | 84 قدمًا مربعة |
| دائرة | π × نصف القطر² | نصف قطر 9 ft | 254.47 قدمًا مربعة |
| حلقة | π × (نق² − نق'²) | خارجي 12 ft، داخلي 8 ft | 251.33 قدمًا مربعة |
| شبه منحرف | (أ + ب) ÷ 2 × الارتفاع | 14 و20 ft، تفصلهما 10 ft | 170 قدمًا مربعة |
| قطع ناقص | π × أ × ب | نصفا محور 15 و10 ft | 471.24 قدمًا مربعة |
أشكال ليست شكلًا واحدًا
أغلب الغرف والقطع الحقيقية ليست في القائمة أعلاه، والجواب واحد دائمًا: جزّئها.
فالغرفة على شكل L مستطيلان، أو مستطيل كبير محذوف منه ركن. وكلاهما يعطي الجواب نفسه، وطريقة الطرح تأخذ قياسات أقل عادة. فغرفة داخل غلاف 20 في 30 ft ينقصها ركن 10 في 12 ft هي 600 − 120 = 480 قدمًا مربعة.
والإطار المحيط — كحافة فناء أو ممشى حول بلاطة — هو المستطيل الخارجي ناقص الداخلي. والأبعاد الخارجية ناقص ضعف عرض الإطار تعطي الأبعاد الداخلية. ففناء 20 في 10 ft بإطار 2 ft هو 200 − (16 × 6) = 104 أقدام مربعة من الإطار.
والغرفة ذات النافذة البارزة مستطيل زائد شبه منحرف. والغرفة ذات الطرف المدوّر مستطيل زائد نصف دائرة. وفي كل حالة، قِس خط الالتقاء حيث يلتقي الشكلان، لأن ذلك القياس يخصّ القطعتين والخطأ فيه يشوّه كلتيهما.
وجزّئ عند الأركان لا عند نقاط تبدو مريحة. فكل موضع يغيّر فيه جدار اتجاهه خط تجزئة طبيعي، والتجزئة هناك تجعل كل قطعة مستطيلًا بسيطًا بقياسين.
وتحقّق من تجزئتك بالمحيط. فمجموع الأضلاع الخارجية لقطعك ينبغي أن يساوي محيط الغرفة الفعلي، وخطوط التجزئة الداخلية ينبغي أن تظهر مرتين — مرة في كل قطعة تتشاركها. فإن ظهر خط داخلي مرة واحدة، فقد أغفلت قطعة؛ وإن ظهر ضلع خارجي مرتين، فقد احتسبت مساحة مرتين.
اطرح ولا تخمّن. فحين ينقص شكلًا جزء، قِس الجزء الناقص واطرحه. وتقدير الباقي بالعين هو مصدر أغلب أخطاء المساحات غير المنتظمة.
صيغ التحويل
الوحدات المربعة لا تتحول بالمعدل نفسه الذي تتحول به الوحدات الطولية، وهذا يوقع الناس باستمرار. فالقدم 12 بوصة، لكن القدم المربع 144 بوصة مربعة، لأن البعدين يُحوَّلان معًا.
من البوصة المربعة إلى القدم المربع: اقسم على 144. فـ1,440 بوصة مربعة هي 10 أقدام مربعة.
من القدم المربع إلى الياردة المربعة: اقسم على 9. فغرفة 180 قدمًا مربعة هي 20 ياردة مربعة — وهي الوحدة التي يُباع بها الموكيت والعشب الجاهز.
من القدم المربع إلى المتر المربع: اضرب في 0.09290304. وهذا المعامل دقيق، لأن القدم مُعرَّفة بأنها 0.3048 متر بالضبط. فشقة 1,000 قدم مربع هي 92.9 مترًا مربعًا.
من المتر المربع إلى القدم المربع: اضرب في 10.7639. فشقة 100 متر مربع هي 1,076.39 قدمًا مربعة.
من القدم المربع إلى الأكر: اقسم على 43,560. فنصف الأكر 21,780 قدمًا مربعة.
| من | إلى | العملية | المثال |
|---|---|---|---|
| بوصة مربعة | قدم مربع | ÷ 144 | 1,440 in² = 10 أقدام مربعة |
| قدم مربع | بوصة مربعة | × 144 | 10 أقدام مربعة = 1,440 in² |
| قدم مربع | ياردة مربعة | ÷ 9 | 180 قدمًا مربعة = 20 ياردة مربعة |
| قدم مربع | متر مربع | × 0.09290304 | 1,000 قدم مربع = 92.9 m² |
| متر مربع | قدم مربع | × 10.7639 | 100 m² = 1,076.39 قدمًا مربعة |
| قدم مربع | أكر | ÷ 43,560 | 21,780 قدمًا مربعة = 0.5 أكر |
| أكر | قدم مربع | × 43,560 | 1 أكر = 43,560 قدمًا مربعة |
تحويل المساحة إلى مواد
المساحة نادرًا ما تكون الجواب الذي تريده فعلًا. وهذه هي الصيغ التي تحوّلها إلى كمية تشتريها، وكل واحدة منها تأخذ المساحة مدخلًا.
الدهان: الغالونات = المساحة × الطبقات ÷ 350. فغرفة 418 قدمًا مربعة بطبقتين تحتاج 2.39 غالون، أي ثلاثة. والبطانة تغطي أقل، نحو 200 إلى 300 قدم مربع للغالون.
ألواح الجبس: الألواح = المساحة ÷ 32 لألواح 4 في 8 ft، أو ÷ 48 لـ4 في 12. فـ468 قدمًا مربعة من الجدار هي 14.63 لوحًا، أي 15 — واشترِ لوحًا احتياطيًا.
التسقيف: المربّعات = مساحة السطح ÷ 100، والحزم = المربّعات × 3 للقرميد المعتاد. فسطح 1,789 قدمًا مربعة هو 17.89 مربّعًا؛ ومقرَّبًا إلى 20 بعد الهدر، يكون ذلك 60 حزمة.
البلاط والأرضيات: الصناديق = المساحة × (1 + الهدر) ÷ التغطية للصندوق. فـ100 قدم مربع بهدر 10% هي 110، وعند 16 قدمًا مربعة للصندوق يكون ذلك 6.88 صندوقًا، أي سبعة.
ولاحظ أن كل واحدة من هذه تُقرَّب لأعلى، وعدة منها تضيف نسبة هدر أولًا. فالمواد تُباع بوحدات كاملة والقصاصات نادرًا ما تُعاد، فالجواب الحسابي أرضية لا كمية طلب.
ولاحظ أيضًا أن هذه الصيغ تأخذ مساحات مختلفة. فالدهان يأخذ مساحة الجدار، وألواح الجبس تأخذ الجدار والسقف، والتسقيف يأخذ السطح المائل لا المسقط، والأرضيات تأخذ الأرضية. فقبل تطبيق أي صيغة منها، تأكّد أي سطح تحمل مساحته — فذلك خطأ أكبر بكثير من أي تقريب.
ترتيب العمليات الذي يبقيك بعيدًا عن المشكلات
الصيغ بسيطة. والأخطاء تكاد تكون كلها في الترتيب، فهذا هو الترتيب الذي تعمل به.
قِس بالبوصات لا بالأقدام المقرَّبة. وحوّل مرة واحدة في النهاية بقسمة البوصات المربعة على 144. فتقريب كل قياس إلى أقرب قدم قبل الضرب يراكم الخطأ عبر كل جدار في الغرفة.
احسب المساحة الإجمالية أولًا ودوّنها. ونفّذ الطرح خطوة منفصلة، فحين يختلف رقم مورّد تستطيع أن تعرف هل تختلفان على الفراغ أم على الطرح.
طبّق نسبة الهدر بعد الطرح لا قبله. فسماحية هدر 10% مطبَّقة على المساحة الإجمالية تشتري بهدوء مادةً لفتحات أزلتها أصلًا.
وقرّب لأعلى في النهاية تمامًا، مرة واحدة. فالتقريب عند كل خطوة يتراكم: ثلاث تقريبات بـ0.4 لوح لكل واحدة تتجاوز لوحًا كاملًا من الخطأ قبل أن تصل إلى المحاسب.
ثم راجع سلامة الرقم مقابل شيء تعرفه. فغرفة النوم عادة من 100 إلى 250 قدمًا مربعة، والجدار الداخلي من 80 إلى 160، وجراج السيارتين نحو 400 إلى 576. فإن خرج جوابك خارج النطاق المتوقع، فأعد القياس قبل الطلب.
وخطوة أخيرة يغفلها الجميع: دوّن الصيغة التي استعملتها مع الجواب. فبعد أسبوع لن تتذكر هل طبّقت 0.09290304 أم قسمت على 10.7639، ولا هل أضفت الهدر قبل الطرح أم بعده. وسطر واحد يقول «مستطيل، 12 × 14، هدر 10% بعد الطرح» يجعل الرقم قابلًا للمراجعة، وبلا ذلك السطر يكون الرقم مجرد ادّعاء.
ثلاثة أضلاع لا تصنع مثلثًا دائمًا
صيغة هيرون تأخذ ثلاثة أطوال أضلاع وتعيد مساحة، وهو ما يجعلها تبدو كأن أي ثلاثة أرقام تصف مثلثًا. وهي لا تفعل، وحساب الصيغة نفسه هو ما يخبرك بذلك.
والاختبار هو متباينة المثلث: مجموع أي ضلعين يجب أن يتجاوز الثالث. فأضلاع 13 و14 و15 تجتازه بأريحية وتعطي الـ84 قدمًا مربعة المحلولة أعلاه. وأضلاع 2 و3 و9 لا تجتازه — فـ2 زائد 3 هي 5، ولا تستطيع بلوغ 9 — ولا يوجد شكل بتلك القياسات.
ومرّر المجموعة الساقطة عبر هيرون على أي حال وانظر ماذا يحدث. فنصف المحيط (2 + 3 + 9) ÷ 2 = 7، فتكون الحدود الثلاثة بين القوسين 7 − 2 = 5، و7 − 3 = 4، و7 − 9 = −2. والحاصل 7 × 5 × 4 × −2 = −280، ولا جذر تربيعي لعدد سالب. فالحاسبة التي لا تعيد شيئًا، أو تعيد خطأ، ليست معطلة؛ إنها تخبرك أن القياسات خاطئة.
والحالات القريبة من السقوط تستحق المعرفة أيضًا، لأنها تجتاز الاختبار وتشير إلى خطأ رغم ذلك. فأضلاع 5 و5 و9.99 مثلث تقنيًا، لكن الضلعين القصيرين يجب أن ينبطحا على الطويل تقريبًا، فتنهار المساحة إلى 1.12 قدم مربع. والغرفة الحقيقية التي تقيس هكذا أرجح كثيرًا أن يكون فيها رقم مقلوب من أن تكون شظية.
فحين ينتج قياس ثلاثي الأضلاع لا جواب، أعد قياس أطول ضلع أولًا. فهو الأرجح أن يكون أُخذ عبر قطر، أو أن يكون التقط كوّة لم يلتقطها الآخران.